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    3．放缩法:要注意放缩的适度.常用的方法是:①舍去或加上一些项,②将分子或分母放大． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

    【解析】根据观察得出一般不等式，然后用数学归纳法证明，注意放缩法的应用.

     

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    以下方法不能用于证明不等式的是（　　）

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    已知an=
    		1×2
    +
    		2×3
    +
    		3×4
    +…+
    		n(n+1)
    （n∈N*），用放缩法证明：
    n(n+1)
    2
    ＜an＜
    n(n+2)
    2
    ．（提示：
    		n(n+1)
    ＞n 且
    		n(n+1)
    ＜
    n+(n+1)
    2
    ）

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    （本小题满分14分，每小题7分)
    （Ⅰ）设函数，如果，，求的取值范围．
    （Ⅱ）用放缩法证明不等式：

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    已知正项数列的前n项和满足：，

    （1）求数列的通项和前n项和；

    （2）求数列的前n项和；

    （3）证明：不等式  对任意的，都成立．

    【解析】第一问中，由于所以

    两式作差，然后得到

    从而得到结论

    第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

    第三问中，

    又

           

    结合放缩法得到。

    解：（1）∵     ∴

          ∴

          ∴   ∴  ………2分

          又∵正项数列，∴           ∴ 

    又n=1时，

    ∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

    ∴                             …………………4分

    ∴                   …………………5分 

    （2）       …………………6分

        ∴

                              …………………9分

    （3）

          …………………12分

    又

            ，

       ∴不等式  对任意的，都成立．

     

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