已知f（x）=x³+ax²-x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为(-

1

3

，1)，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），f'（x）+2≥2g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

设函数f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），f（x）的两个极值点为A（α，f（α）），B（β，f（β）），线段AB的中点为M．
（1）如果函数f（x）为奇函数，求实数a的值；当a=2时，求函数f（x）图象的对称中心；
（2）如果M点在第四象限，求实数a的范围；
（3）证明：点M也在函数f（x）的图象上，且M为函数f（x）图象的对称中心．

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）．
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）若方程f（x）=1恰有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

函数f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a2-1)x+1，x∈R．
（1）如果函数f（x）在点A（2，f（2））处的切线的斜率等于3，求实数a的值；
（2）如果函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，求实数a的取值范围．

（理科）函数y=x+

a

x

(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x2+

c

x2

（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．