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    例1．求过抛物线y=ax2+bx+c上一点P(x0.y0)处的切线方程.并由此证实抛物线的光学性质. 分析:为求斜率.先求导函数:y'=2ax+b.故切线方程为y-y0=(2ax0+b)(x-x0) 即 y=(2ax0+b)x-ax+c.亦即y=(2ax0+b)x-ax+c. 抛物线焦点:F(,).它关于切线的对称点之横坐标当x0.说明从焦点发出的光线射到(x0.y0)经抛物面反射后反射光线平行于对称轴.反之亦然. 要求过曲线上一点处的切线方程.一般先求出该点的导数值.再用点斜式写出后化简.同时我们还可以据此写出该点处的法线方程. 解:显然.y0=ax+bx0+c y'=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b. 切线方程y-(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x-x0). 亦即y=(2ax0+b)x-ax+c. 由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2.只须证明过其上一点(x0.ax)的切线l :y=2ax0x-ax 满足:焦点关于l的对称点为(m.n). 当x0≠0时.消去n. 知 m=x0. 当x0=0时.切线为y=0.F之对称点横坐标显然是0. 故从焦点发出的光线射到(x0.ax)后被抛物面反射后的方程为x=x0,反之.与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点. 例2．求函数y=x4+x-2 图象上的点到直线y=x-4的距离的最小值及相应点的坐标. 分析:首先由得x4+2=0 知.两曲线无交点. y'=4x3+1.切线要与已知直线平行.须4x3+1=1.x=0. 故切点: 一般地.当直线l与y=f(x)的图像无交点时.与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值.以最小值为例与l平行的 直线若与曲y=f.则l'与l间必存在y=f(x)上的点C.显然.C点到l的距离小于l与l'间的距离.亦即A到l的距离. 当然.我的也可用参数直接考虑:设(x0.x+x0-2)为y=f(x)图象上任意一点.它到l的距离.故距离最小距离为 上述等号当且仅当x=0时取得.故相应点坐标为(0.2). 解:y'= 4x3+1.令4x3+1=1.x=0. 由此知过曲线上点的切线方程y=x+2 与已知直线平行.它到 已知直线距离最近.为. 例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x3-3x2+2x相切.试求直线l的方程. 分析: 设切点为(x0.y0).则y0＝x03-3x02+2x0.由于直线l经过原点.故等式的两边同除以x0即得切线的斜率.再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率.便可建立关于x0的方程.在两边同除以x0时.要注意对x0是否为0进行讨论. 解:设直线l:y＝kx . ∵y'＝3x2-6x+2. ∴y'|x=0＝2.又∵直线与曲线均过原点.于是直线y＝kx与曲线y＝x3-3x2+2相切于原点时.k＝2. 若直线与曲线切于点(x0.y0) (x0≠0).则k＝.∵y0＝x03-3x02+2x0. ∴=x02-3x0+2. 又∵k＝y'|＝3x02-6x0+2. ∴x02-3x0+2＝3x02-6x0+2. ∴2x02-3x0＝0. ∵x0≠0. ∴x0＝. ∴k＝x02-3x0+2＝-. 故直线l的方程为y＝2x或y＝-x. 例4．已知曲线及其上一点.过作C的切线.与C的另一公共点为(不同于).过作C的切线.与C的另一公共点为(不同于).-.得到C的一列切线..-..-.相应的切点分别为..-..-. (1)求的坐标, (2)设到的角为.求之值. 解:(1)设.过作C的切线. C在处的切线的方程为:.代入.并整理得. 即或. 由题意..从而. 即, (2)的斜率. 的斜率. . 例5．在直线轨迹上运行的一列火车.从刹车到停车这段时间内.测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t-0.45t2.这列火车在刹车后几秒钟才停车?刹车后又运行了多少米? 解:当火车运行速度为0时.火车停车. v＝s'＝(27t-0.45t2)'＝27-0.9t. 令27＝0.9t＝0.得t＝30(秒). 则s＝27×30-0.45×302＝405(米). 故这列火车在刹车后30秒钟才停车.刹车后又运行了405米. 例6．求曲线y＝在横坐标为x0的点处的切线方程.并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. 分析:先根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线方程.从而求出切线被两坐标轴所截线段.再用基本不等式求其最小值. 解:由导数的定义可得y /＝-.则过()点的切线方程为.由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x0.0).B(0.). 则|AB|2＝≥. ∴|AB|≥.当且仅当.即x0＝±时.等号成立.故最短长度为. 例7．如图.已知圆心为O.半径为1的圆与直线l相切于点A.一动点P自切点A沿直线l向右移动时.取弧AC的长为. 直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=时.点P的速度 为v.求这时点M的速度.(1984年·全国高考附加题) 分析: 设AP的长为x.AM的长为y.用x表示y.并用复合函数求导法则对时间t进行求导. 解:如图.作CD⊥AM.并设AP=x.AM=y.∠COA=θ. 由题意弧AC的长为.半径OC=1.可知θ=.考虑θ∈. ∵△APM∽△DCM.∴. ∵DM=y- (1-cos).DC=sin.∴ ∴. 上式两边对时间t进行求导.则 . ∴= 当时..代入上式得点M的速度. 例8．已知在R上单调递增.记的三内角的对应边分别为.若时.不等式恒成立． (Ⅰ)求实数的取值范围, (Ⅱ)求角的取值范围, (Ⅲ)求实数的取值范围． 解:(1)由知.在R上单调递增. 恒成立.且.即且.. 当.即时.. 时.时..即当时.能使在R上单调递增.． (2).由余弦定理:.. (3)在R上单调递增.且. 所以. 故.即..即.即． 例9．已知函数在区间单调递增.在区间单调递减. (Ⅰ)求a的值, (Ⅱ)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图象上.求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上, (Ⅲ)是否存在实数b.使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在.请求出实数b的值,若不存在.试说明理由. 解:(Ⅰ)由函数单调递减. (Ⅱ) (Ⅲ)函数 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质．

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    求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x，y）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质．

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    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）．
    （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
    （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

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