在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=

3

x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤

xnan-1

xn+an-1

，a1=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜

5

4

-

1

3n-1

，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：(1-an)2[

a 2 2

(1- a 2 2 )2

+

a 3 3

(1- a 3 3 )2

+…+

a n n

(1- a n n )2

]＞

4

5

-

1

1+an+ a 2 n +…+ a n n

．

（2013•闸北区二模）在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对于所有正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．则

lim

n→∞

nxn=（　　）

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是

1

2

．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第m-1站（胜利大本营）或第m站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n．
（1）求P₀，P_l，P₂；
（2）写出P_n与P_n-1，p_n-2的递推关系；
（3）求证：玩该游戏获胜的概率小于

2

3

．