已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1.点M是棱AA'的中点.点O是对角线BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'和BD'的公垂线, (Ⅱ)求二面角M-BC'-B'的大小, ——青夏教育精英家教网—

已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1.点M是棱AA'的中点.点O是对角线BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'和BD'的公垂线, (Ⅱ)求二面角M-BC'-B'的大小, (Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积. 本小题主要考查异面直线.直线与平面垂直.二面角.正方体.三棱锥体积等基础知识.并考查空间想象能力和逻辑推理能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力. 解法一:(1)连结AC.取AC中点K.则K为BD的中点.连结OK 因为M是棱AA’的中点.点O是BD’的中点所以AM 所以MO 由AA’⊥AK.得MO⊥AA’ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’.所以AK⊥平面BDD’B’ 所以AK⊥BD’ 所以MO⊥BD’ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 (2)取BB’中点N.连结MN.则MN⊥平面BCC’B’ 过点N作NH⊥BC’于H.连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°= 在Rt△MNH中.tan∠MHN= 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2 (3)易知.S△OBC=S△OA’D’.且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内点O到平面MA’D’距离h＝ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h= 解法二: 以点D为坐标原点.建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A,B,C,A’,C’,D’ (1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点所以M(1,0, ),O(,,) ,=,= =0, +0=0 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.------------4分 (2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z) =(0,-1,), ＝即取z＝2,则x＝2,y＝1.从而= 取平面BC'B'的一个法向量为＝ cos 由图可知.二面角M-BC'-B'的平面角为锐角故二面角M-BC'-B'的大小为arccos------------------9分 (3)易知.S△OBC＝S△BCD'A'＝设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) ＝, ＝即取z1＝1,得y1＝1.从而＝点M到平面OBC的距离d＝ VM-OBC＝----------------12分 2009年高考题【查看更多】

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（本小题满分12分）

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；