30．已知m.n为正整数. (Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时.(1+x)m≥1+mx, (Ⅱ)对于n≥6.已知.求证.m=1,1,2-.n, (Ⅲ)求出满足等式3n+4m+-+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n. 解:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时.原不等式中等号显然成立.下用数学归纳法证明: 当x>-1.且x≠0时.m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 (i)当m=2时.左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x.因为x≠0,所以x2>0.即左边>右边.不等式①成立, (ii)假设当m=k(k≥2)时.不等式①成立.即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时.因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时.不等式①也成立. 综上所述.所证不等式成立. (Ⅱ)证:当 而由(Ⅰ). (Ⅲ)解:假设存在正整数成立. 即有()+＝1. ② 又由(Ⅱ)可得 ()+ +与②式矛盾. 故当n≥6时.不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形, 当n=1时.3≠4.等式不成立, 当n=2时.32+42＝52.等式成立, 当n=3时.33+43+53＝63.等式成立, 当n=4时.34+44+54+64为偶数.而74为奇数.故34+44+54+64≠74,等式不成立, 当n=5时.同n=4的情形可分析出.等式不成立. 综上.所求的n只有n=2,3. 第二节 基本不等式 【
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(2007
湖北，21)已知m，n为正整数．
(1)
用数学归纳法证明：当x＞－1时，
；
(2)
对于n≥6，已知
，求证
，m=1，2，…，n；
(3)
求出满足等式
的所有正整数n．
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