已知椭圆C₁∶＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．

(Ⅰ)求椭圆C₁的方程；

(Ⅱ)设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

(Ⅲ)设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且满足·＝0，求||的取值范围．

已知椭圆C₁：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，x轴被抛物线C₂：y＝x²－b截得的线段长等于C₁的长半轴长．

(1)求C₁，C₂的方程；

(2)设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y＝kx与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E．证明：·为定值；

已知椭圆C₁：＋＝1(a＞b＞0)和椭圆C₂：x²＋y²＝r²都过点(0，－1)，且椭圆C₁的离心率为．

(Ⅰ)求椭圆C₁和C₂的方程；

(Ⅱ)如图，A，B分别为椭圆C₁的左右顶点，P(x₀，y₀)为圆C₂上的动点．过点P作圆C₂的切线l，交椭圆C₁与不同的两点C，D，且l与x轴的交点为M，直线AC与直线DB的交点为N．

(i)求切线l的方程；

(ii)问点M，N的横坐标之积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

已知椭圆C₁：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．

(Ⅰ)求椭圆C₁的方程；

(Ⅱ)设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

(Ⅲ)设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且满足·＝0，求||的取值范围．