如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AD上移动．求AE等于何值时，二面角D₁ECD的大小为

π

4

？

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C₁，所爬的最短路程为2

2

．
（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．