22．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx.且f ′(-1)＝0. (1)试用含a的代数式表示b, (2)求f(x)的单调区间, (3)令a＝-1.设函数f(x)在x1.x2(x1＜x2)处取得——青夏教育精英家教网—

22．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx.且f ′(-1)＝0. (1)试用含a的代数式表示b, (2)求f(x)的单调区间, (3)令a＝-1.设函数f(x)在x1.x2(x1＜x2)处取得极值.记点M(x1.f(x1)).N(x2.f(x2))．证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M.N的公共点．命题意图:本小题主要考查函数.导数等基础知识.考查推理论证能力.运算求解能力.考查函数与方程思想.数形结合思想.化归与转化思想.分类与整合思想．解析:解法一:(1)依题意.得 f ′(x)＝x2+2ax+b. 由f ′(-1)＝1-2a+b＝0得b＝2a-1. 得f(x)＝x3+ax2+(2a-1)x.故f ′(x)＝x2+2ax+2a-1＝(x+1)(x+2a-1)．令f ′(x)＝0.则x＝-1或x＝1-2a. ①当a＞1时.1-2a＜-1. 当x变化时.f ′(x)与f(x)的变化情况如下表: x (-∞.1-2a) (1-2a.-1) f ′(x) + - + f(x) 单调递增单调递减单调递增由此得.函数f(x)的单调增区间为(-∞.1-2a)和.单调减区间为(1-2a.-1)． ②当a＝1时.1-2a＝-1.此时.f ′(x)≥0恒成立.且仅在x＝-1处f ′(x)＝0.故函数f(x)的单调增区间为R. ③当a＜1时.1-2a＞-1.同理可得函数f(x)的单调增区间为和(1-2a.+∞).单调减区间为(-1,1-2a)．综上所述:当a＞1时.函数f(x)的单调增区间为(-∞.1-2a)和.单调减区间为(1-2a.-1), 当a＝1时.函数f(x)的单调增区间为R, 当a＜1时.函数f(x)的单调增区间为和(1-2a.+∞).单调减区间为(-1,1-2a)． (3)当a＝-1时.得f(x)＝x3-x2-3x. 由f ′(x)＝x2-2x-3＝0.得x1＝-1.x2＝3. 由(2)得f(x)的单调增区间为.单调减区间为.所以函数f(x)在x1＝-1.x2＝3处取得极值．故M(-1.).N．所以直线MN的方程为y＝-x-1. 由得x3-3x2-x+3＝0. 令F(x)＝x3-3x2-x+3. 易得F(0)＝3＞0.F(2)＝-3＜0.而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线.故F(x)在(0,2)内存在零点x0.这表明线段MN与曲线f(x)有异于M.N的公共点．解法二:(1)同解法一． (2)同解法一． (3)当a＝-1时.得f(x)＝x3-x2-3x. 由f ′(x)＝x2-2x-3＝0.得x1＝-1.x2＝3. 由(2)得f(x)的单调增区间为.单调减区间为.所以函数f(x)在x1＝-1.x2＝3处取得极值. 故M(-1.).N．所以直线MN的方程为y＝-x-1. 由得x3-3x2-x+3＝0. 解得x1＝-1.x2＝1.x3＝3. ∴ 所以线段MN与曲线F(x)有异于M.N的公共点(1.-)．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：

①f（x）的解析式为f(x)=x³-4x，x∈[-2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于零.

其中正确的命题个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

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已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：

①f（x）的解析式为f(x)=x³-4x，x∈[-2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于零.

其中正确的命题个数为

A.0 B.1

C.2 D.3

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