题目列表(包括答案和解析)
π |
2 |
T |
S |
已知直三棱柱中, , , 是和的交点, 若.
(1)求的长; (2)求点到平面的距离;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中,利用ACCA为正方形, AC=3
第二问中,利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=,第三问中,利用三垂线定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB
CHE为二面角C-AB-C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为 ……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ……………………… 3分
=(2, -, -), =(0, -3, -h) ……… 4分
·=0, h=3
(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C-AB-C的大小满足cos== ……… 11分
二面角C-AB-C的平面角的正弦大小为
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1) 求证:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由
【解析】(1)∵DE∥BC∴∴∴∴又∵∴
(2)如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,
则
设平面的法向量为,则,又,,所以,令,则,所以,
设CM与平面所成角为。因为,
所以
所以CM与平面所成角为。
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