题目列表(包括答案和解析)
(1)观察下面两块三角尺,它们有一个共同的性质:∠A=2∠B,我们由此出发来进
行思考。
在图(1)中,作斜边AB上的高CD,由于∠B=30°,可知c=2b,于是AD=,
BD=c-。由于△CDB∽△ACB,可知=,即a2=c·BD。
同理b2=c·AD。于是a2-b2=c(BD-AD)=c[(c-)-]=c(c-b)
=c(2b-b)
=bc。对于图(2),由勾股定理有a2=b2+c2,由于b=c,故有a
这两块三角尺都具有性质a2-b2=bc。
在△ABC中,如果一个内角等于另一个内角的2倍,我们就称这种三角形为倍角三角
形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形。对于任意的倍角三角形,上面的性质仍然
成立吗?暂时把我们的设想作为一个猜测:
如图(3),在△ABC中,若∠CAB=2∠ABC,则a2-b2=bc。
在上述由三角尺的性质到猜想这一认识过程中,用到了下列四种数学思想方法中的哪
一种?选出一个正确的并将其序号填在括号内………………………………………( )
①分类的思想方法 ②转化的思想方法 ③由特殊到一般的思想方法 ④数形结合的
思想方法
(2)这个猜测是否正确?请证明。
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2.
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
1.已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .试比较M与N的大小.
2.已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边
满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
拓展延伸
已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2.
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
【小题1】已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a.试比较M与N的大小.
【小题2】已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边
满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
拓展延伸
已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2.
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
1.已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .试比较M与N的大小.
2.已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边
满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。
①这样的长方形可以画 个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
拓展延伸
已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
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