探究问题

(1)阅读理解：

①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．

②如图2，若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此为托勒密定理．

(2)知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图3，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC_{上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．}

②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图4，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在弧BC上取一点P₀，连接P₀A、P₀B、P₀C、P₀D．

易知P₀A＋P₀B＋P₀C＝P₀A＋(P₀B＋P₀C)＝P₀A＋　　　 ；

第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC的费马点P，线段　 　的长度即为△ABC的费马距离．

(3)知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难．为解决老百姓饮水问题，解放军某部到云南某地打井取水．

已知三村庄A、B、C构成了如图5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。