如图所示：一幅三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．
（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．
（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形GBHO的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
（3）若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

如下图所示，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝8，AD＝20，AB＝DC＝10，点P从A点出发，沿AD边向点D移动，点Q自A点出发，沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP＝x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．

(1)分别求出当点Q位于AB，BC上时，S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？

(3)在(2)的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？请说明理由，并进一步研究：对任何一个梯形，当一直线L经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，它一定平分梯形的面积？(只要求说出条件，不需要证明)