如图，直线与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线上的一点，且△AMB是以AB为底的等腰直角三角形．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过M点作MC⊥x轴，MD⊥y轴，垂足分别为C、D；求证：△AMD≌△BMC；
（3）求k值；
（4）问双曲线上是否存在一点Q，使？若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由．

已知半径为6的⊙O₁与半径为4的⊙O₂相交于点P、Q，且∠O₁PO₂＝120°，点A为⊙O₁上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O₂交于点B，直线O₁A与直线O₂B交于点M．

(1)如图，求∠AMB的度数；

(2)当点A在⊙O₁上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于(1)中结论的情况？若存在，请在图中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于(1)中结论；

(3)当点A在⊙O₁上运动时，若△APO₁与△BPO₂相似，求线段AB的长．