已知：如图，抛物线y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及点A、C，点D是劣弧

OA

上一动点（D点与A、O不重合）．
（1）求抛物线的顶点E的坐标；
（2）求⊙M的面积；
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究，当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向M、N两地之间修建一条道路．已知：如图C点周围180m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上．
（1）NM是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：

3

≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工作需要多少天？

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，

BC

=

BD

，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF．
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=

3

4

，求线段AD、CD的长．

已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．