(2004厦门)已知：正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．

(1)如图1，连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等．”是否正确？若正确请证明；若不正确请举反例说明；

图1

(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图2为例说明理由．

图2

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现与证明：
发现：①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：______．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：______．
证明：请你选择上述两个发现中的任意一个加以证明，选择①、②证明的满分分别为4分和6分．（注意：证明前要注明选择了哪一个发现）
（2）引申与运用：
引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是：______．
运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是______cm²．
证明：我选择______进行证明．

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：______．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：______
（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是______cm²．