梯形ABCD中，AD∥CB，AB⊥BC，∠C=60°，BC=CD=4cm，则AD=cm，AB=cm，S_梯形ABCD=cm²．

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm/s．当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm²）．
（1）当点P在线段AB上运动时，是否存在某个t的值使∠CQP=60°？通过计算说明；
（2）当点P在CD上时，是否存在某个t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大？并求出最大值．