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    本课的教学难点:用面积法证明勾股定理. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？

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    运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
    （1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2=h；
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    （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是
     
    ；（直接写出结论不必证明）
    （3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=
    34
    x+3、l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．

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    （1）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
    对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b=(
    		a
    )2+(
    		b
    )2    =(
    		a
    )2+(
    		b
    )2    -2
    		ab
    +2
    		ab
    =(
    		a
    -
    		b
    )2    +2
    		ab
    ，
    又∵(
    		a
    -
    		b
    )2    ≥0，∴(
    		a
    -
    		b
    )2    +2
    		ab
    ≥0+2
    		ab
    ，即a+b≥2
    		ab
    ．
    根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥2
    		ab
    （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
    		p
    ，当且仅当a、b满足
     
    时，a+b有最小值2
    		p
    ．
    （2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b≥2
    		ab
    成立，并指出等号成立时的条件．
    （3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=
    4
    x
    的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．
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    勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

    将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
    证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．
    ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
    1
    2
    b2+
    1
    2
    ab．
    又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
    1
    2
    c2+
    1
    2
    a（b-a）
    ∴
    1
    2
    b2+
    1
    2
    ab=
    1
    2
    c2+
    1
    2
    a（b-a）
    ∴a2+b2=c2
    请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
    将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
    求证：a2+b2=c2
    证明：连结
     

    ∵S五边形ACBED=
     

    又∵S五边形ACBED=
     

    ∴
     

    ∴a2+b2=c2．

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    朝晖初中的科技活动搞得有声有色．某班的小赵对跨湖桥博物馆富有创意的独木舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成独木舟模型．如图所示，该正五边形ABCDE中，O为中心，延长AO交CD于点M．若OM长为
    		6
    ，AN为独木舟船头A到船底的距离，为了计算AN+
    1
    2
    AM    的值，小赵所在的科技小组进行了热烈的讨论：
    小王：AM显然是此正五边形的对称轴．
    小李：AN与AM似乎无法直接求出，应该用整体思想来求AN+
    1
    2
    AM    的值．
    小朱：注意到AM⊥CM，AN⊥BC，则AM与AN可看成是三角形的高，能否利用面积法来求呢？
    小杨：若将点O与正五边形的各顶点连接，则将此正五边形的面积五等分…精英家教网
    在这些同学的提示下，小赵求出了AN+
    1
    2
    AM    =
     
    ．

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