题目列表(包括答案和解析)
观察可得最简公分母是(x+1)(x-1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】
(2)方程的两边同乘(x+1)(x-1),得
2(x-1)+4=x2-1,
即x2-2x-3=0,
(x-3)(x+1)=0,
解得x1=3,x2=-1,
检验:把x=3代入(x+1)(x-1)=8≠0,即x=3是原分式方程的解,
把x=-1代入(x+1)(x-1)=0,即x=-1不是原分式方程的解,
则原方程的解为:x=3.
【点评】此题考查了实数的混合运算与分式方程的解法.此题难度不大,但注意掌握绝对值的性质、负指数幂的性质、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值,注意解分式方程一定要验根.
20.(本题满分5分)如图,已知△ABC,且∠ACB=90°。
(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明);
①以点A为圆心,BC边的长为半径作⊙A;
②以点B为顶点,在AB边的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(不必证明).
甲、乙两同学解题:化简a+,其中“a=9”时,得出不同答案:
甲:原式=a+=a+1-a=1
乙:原式=a+=a-1+a=2a-1=18-1=17.
________的做法错误,原因是________.
请同学们判断下列各式是否成立:
(1)=2;(2)=3;(3)=4;(4)=3.
经过计算可知,(1)、(2)、(3)式是成立的;(4)式是不成立的.这说明在二次根式的化简运算中要特别注意,根号里面的数是不能轻易地放到根号外面来的.
细心的同学可能会想,什么情况下根号里面的数能放到根号外面来呢?(1)、(2)、(3)式的成立仅仅是巧合吗?其中会有什么规律吧?我们来分析一下前三个式子的运算过程:
(1)===2;
(2)===3;
(3)===4.
通过把带分数化成假分数的分数运算和分子开方运算验证了这些式子是成立的.
我们再来观察前三个等式左边根号内分数的特点.在三个带分数2、3、4中:
(1)整数部分与分数部分的分子相等:
2=2,3=3,4=4;
(2)整数部分与分数部分的分母有下列关系:
3=22-1,8=32-1,15=42-1.
根据上面的分析和观察,我们不妨观察5+=5,式子=5是不是也成立?
===5
确实是成立的!
大胆地猜想一下,对于一般的形式a+(a为大于1的整数),式子
=a
还会成立吗?我们来验证一下:
==
==a
(a为大于1的整数).
太妙啦!我们的猜想是正确的.
那么,下列各式成立吗?
(1)=2;(2)=3;(3)=4;(4)=3.
能不能由此得出下面的结论呢?
=a
同学们可能还会不满足,还会有更大胆的猜想!那就试试看吧.不要忘记,猜想成为真理,是要经过严格证明的.
大家知道,解分式方程的基本方法是,把方程的两边同乘以各分母的最简公分母,化为整式方程来解,而对于一些特殊的分式方程来说,采用上述方法往往越解越繁.下面我们介绍一种简捷、明快的方法--拆项法.
例:解方程
解:先降低方程中各分式分子的次数,将原方程变形为
即(4+)-(7+)=(1-)-(4-)
整理得
两边各自通分得
∴(x-2)(x-1)=(x-7)(x-6)
即x2-3x+2=x2-13x+42
也即10x=40 ∴x=4
经检验知,x=4是原方程的根.
请你运用上述方法,解分式方程
直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B,点E从B点,出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动(与B、O点不重合),过E作EF∥AB,交x轴于F.将四边形ABEF沿EF折叠,得到四边形DCEF,设点E的运动时间为t秒.
(1)①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A(________,________),B(________,________);
②画出t=2时,四边形ABEF沿EF折叠后的图形(不写画法);
(2)若CD交y轴于H点,求证:四边形DHEF为平行四边形;并求t为何值时,四边形DHEF为菱形(计算结果不需化简);
(3)设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S,求S关于t的函数表达式,并求出S的最大值.
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