例题(8).已知实数a.b.c满足a+b+c = 2 .abc = 4 .1求a.b.c中最大者的最小值 ,2求∣a∣+∣b∣+∣c∣的最小值. 解:1.设a为最大者.则由题意得 b+c=2-a,bc= ,由韦达定理得b.c是关于X的二次方程X2-(2-a)X+=0的两个实数根.∴Δ=(2-a)2-4×1×≥0 ,展开后整理并分解因式得(a2+4)(a-4)≥4 ,∴ a≥4.所以最大数a的最小值是4 . [即当b=c=-1时a取最小值.划线部份转化为二次方程根与系数关系是关键.另外设a.b.c哪个最大是等价的.]2.由1知最大数a的最小值为4.所以a.b.c不可能全为正.那么只可能是两负一正.若a为正.则b.c均为负.∴∣a∣+∣b∣+∣c∣= a-b-c = 2a-2≥0 , ∵a≥4, ∴∣a∣+∣b∣+∣c∣≥6 . ∴∣a∣+ ∣b∣+∣c∣的最小值是6 . 例题(9).求函数Y = 的最小值. 解:原式可化为(X2+X+1)Y =3X2+6X+5 .整理得(6-Y)X2+=0.因为X的取值范围是全体实数.所以关于X的二次方程有实数根.∴Δ = 2-4×= -4Y2+40Y-96≥ 0 .即Y2-10Y+24≤ 0 .由≤0 得 4 ≤ Y ≤ 6 .所以Y的最小值为 4 . [说明:本题也可以用以下的方法来做.Y=== 6-.当(X2+1)+1最小时. 最大.从而得Y最小值是4 .] 例题.在ΔABC中.D.E分别是BC.AB上的点.且∠1=∠2=∠3 .如果ΔABC.ΔEBD.ΔADC的周长依次为m,m1,m2,求证:的最小值是 . 证明:由∠1=∠2.∠C是公共角.得ΔABC∽ΔDAC. ∴== . DC=.∵∠2=∠3得DE∥AC.∴ΔBDE∽ΔBCA.∴==.而=== 1-()2 .令K= 则 K =+1-()2,即()2-+K-1= 0. ∵ a.b 为实数. ∴⊿ = (-1)2-4(K-1)≥ 0 .得K≤ 4 .∴ 的最小值为4 . 例题(11)已知矩形A的边长分别为a.b.如果总有另一矩形B.使得矩形B与矩形A的周长之比和面积之比都等于K.试问K是否存在最小值.若存在.求出这个最小值,若不存在.请说明理由. 解:K存在最小值.设矩形B的边长分别为m.n .根据题意得: =K.=K.∴m+n =K(a+b),mn = Kab ,则m.n 是关于X的方程X2-K(a+b)X+Kab = 0的两个根.必须满足⊿=K2(m+n)-4Kmn≥ 0 ,∵K≠0,∴K≥.∴K的最小值是 . [说明:二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用] 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b=(
a
)2+(
b
)2
=(
a
)2+(
b
)2
-2
ab
+2
ab
=(
a
-
b
)2
+2
ab

又∵(
a
-
b
)2
≥0,∴(
a
-
b
)2
+2
ab
≥0+2
ab
,即a+b≥2
ab

根据上述内容,回答下列问题:在a+b≥2
ab
(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥2
p
,当且仅当a、b满足
 
时,a+b有最小值2
p

(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b≥2
ab
成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数y=
4
x
的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.
精英家教网

查看答案和解析>>

(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b==-+=+
又∵≥0,∴+≥0+,即a+b≥
根据上述内容,回答下列问题:在a+b≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,当且仅当a、b满足______时,a+b有最小值
(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b≥成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.

查看答案和解析>>

(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b==-+=+
又∵≥0,∴+≥0+,即a+b≥
根据上述内容,回答下列问题:在a+b≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,当且仅当a、b满足______时,a+b有最小值
(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b≥成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.

查看答案和解析>>

(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b==-+=+
又∵≥0,∴+≥0+,即a+b≥
根据上述内容,回答下列问题:在a+b≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,当且仅当a、b满足______时,a+b有最小值
(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b≥成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.

查看答案和解析>>

(1)阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值.
对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b==-+=+
又∵≥0,∴+≥0+,即a+b≥
根据上述内容,回答下列问题:在a+b≥(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,当且仅当a、b满足______时,a+b有最小值
(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b≥成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.

查看答案和解析>>


同步练习册答案