如图,用两个边长均为1的正方形ABCD和DCEF拼成一个矩形ABEF,把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合,固定矩形ABEF,将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转.
(1)观察并证明:当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时(如图甲),通过观察或测量BG与EH的长度,你能得到什么结论,并证明你的结论;
(2)操作:在旋转过程中,设直角三角尺的两直角边分别与射线BE、射线EF交于G、H(如图乙是旋转过程中的一种状态),DG交EH于O,设BG=x(x>0).
探究①:设直角三角尺与矩形ABEF重叠部分的面积为y,直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
探究②:在旋转过程中,∠DGE能否为30°?若能,设此时过点D有一直线分别与EF、EG交于M、N,该直线恰好平分△OEG的面积,求EM的长,若不能,请说明理由(注:
≈1.05).
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