(2003甘肃)已知抛物线的图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是________．

已知抛物线C₁：y=x²-2x的图象如图所示，把C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，抛物线C₁与抛物线C₂的图象合称图象C₃．
（1）求抛物线C₁的顶点A坐标，并画出抛物线C₂的图象；
（2）若直线y=kx+b与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y=x+b与抛物线C₁相切，求b的值；
（3）结合图象回答，当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围．

已知抛物线y=ax²+bx-4的图象与x相交于A、B（点A在B的左边），与y轴相交于C，抛物线过点A（-1，0）且OB=OC．P是线段BC上的一个动点，过P作直线PE⊥x轴于E，交抛物线于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△BPE与△BPF的两面积之比为2：3时，求E点的坐标；
（3）设OE=t，△CPE的面积为S，试求出S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）中，当S取得最大值时，在抛物线上求点Q，使得△QEC是以EC为底边的等腰三角形，求Q的坐标．

已知抛物线y=ax²-2ax+b的图象经过点A（-3，6），并与X轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．
（3）设直线AC交y轴于S，直线CP交y轴于T，若点M为OT上一动点，过M点作MN⊥y轴交SC延长成于N，在CT的延长线上截取TQ=SN，连接NQ交y轴于R，下面有两个结论：①MR的长度不变；②

MT

RT

为定值．上述结论有且只有一个是正确的，请选择你认为正确的结论度证明求值．

已知抛物线y=x²-4x+1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．
（1）求平移后的抛物线解析式；
（2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x=m，即为过点（m，0）平行于y轴的直线，类似地，直线y=m，即为过点（0，m）平行于x轴的直线、请结合图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；
（3）若将已知的抛物线解析式改为y=x²+bx+c（b＜0），并将此抛物线沿x轴向左平移-b个单位长度，试回答（2）中的问题．