如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4。

（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②.
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒个单位的速度运动. 过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的的值；
（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形
P₁ Q M₁ N₁，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若
存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分别为边AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AE-ED-DB运动，到点B停止．点P在折线AE-ED上以每秒1个单位的速度运动，在DB上以每秒个单位的速度运动. 过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ右侧作正方形PQMN，使点M落在线段BC上．设点P的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，求正方形PQMN的顶点N落在AB边上时对应的的值；

（2）连结BE，设正方形PQMN与△BED重叠部分图形的面积为S，请直接写出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；

（3）当正方形PQMN顶点P运动到与点E重合时，将正方形PQMN绕点Q逆时针旋转60°得正方形

P₁ Q M₁ N₁，问在直线DE与直线AC上是否存在点G和点H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若

存在，请求出EG的值；若不存在，请说明理由．

如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4。

（1）求梯形BCFG的面积；

（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②.

 ①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时的值；

②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。