6．二次函数与一元二次方程的关系: (1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点.有一个交点.没有交点,当二次函数的图象与x轴有交点时.交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值.即一元二次方程ax2+bx+c=0的根． (3)当二次函数的图象与 x轴有两个交点时.则一元二次方程有两个不相等的实数根,当二次函数的图象与x轴有一个交点时.则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根,当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时.则一元二次方程没有实数根．典例精析 [例1](1) 已知抛物线的部分图象如图.则再次与x轴相交时的坐标是( ) A． C． (2)已知二次函数的图象如图所示.则a.b.c满足( ) A．a＜0.b＜0.c＞0 B．a＜0.b＜0.c＜0 C．a＜0.b＞0.c＞0 D．a＞0.b＜0.c＞0 [分析](1)由.可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1.0).则与x轴的另一交点为(7.0). (2)由抛物线开口向下可知a＜0,与y轴交于正半轴可知c＞0,抛物线的对称轴在y轴左侧.可知- ＜0．则b＜0．故选A． [解答]A [例2]如图.抛物线与x轴相交于B.且过点A(3.6). (1) 求a.b.c的值. (2) 设抛物线的顶点为P.对称轴与线段AC相交于点Q.连结CP.PB.BQ.试求四边形PBQC的面积. [分析]本题第(1)小题考察用待定系数法求抛物线的解析式.结合条件可以考虑用交点式.第(2)小题关键是求出Q点的坐标.因为它是对称轴与线段AC的交点.所以要先求出直线AC的解析式. [解答](1)由题意可设:. 把点A(3.6)坐标代入可得所以. 即所以 (2) 顶点P的坐标为.对称轴是直线而直线AC的解析式为所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为设对称轴与x轴相交于点D.则可得:DP=DB=DQ=DC=2 所以四边形PBQC的面积为8. [例3]已知.≠0.把抛物线向下平移1个单位.再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是.求原抛物线的解析式. [分析]①由可知:原抛物线的图像经过点(1.0),②新抛物线向右平移5个单位.再向上平移1个单位即得原抛物线. [解答]可设新抛物线的解析式为.则原抛物线的解析式为.又易知原抛物线过点(1.0) ∴.解得 ∴原抛物线的解析式为: [例4]如图是抛物线型的拱桥.已知水位在AB位置时.水面宽米.水位上升3米就达到警戒水位线CD.这时水面宽米.若洪水到来时.水位以每小时0.25米的速度上升.求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? [分析]本题关键是建立合适的直角坐标系. [解答]以AB所在直线为轴.AB的中点为原点.建立直角坐标系.则抛物线的顶点M在轴上.且A(.0).B(.0).C(.3).D(.3).设抛物线的解析式为.代入D点得.顶点M(0.6).所以 [例5]已抛物线(为实数). (1)为何值时.抛物线与轴有两个交点? (2)如果抛物线与轴相交于A.B两点.与轴交于点C.且△ABC的面积为2.求该抛物线的解析式. [分析]抛物线与轴有两个交点.则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根.将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件. [解答](1)由已知有.解得且 (2)由得C 又∵ ∴ ∴或 ∴或课内巩固【查看更多】

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．

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已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2。
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值。

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已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．

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