二次函数的应用例5 已知抛物线y=x2+x-k2+k, (1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)设x1.x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②设点P(m1,n1).Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m的值. 分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可. (2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;②由P.Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1. 解:2-4(-k2+k) =4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1. ∵8k2+1>0, 即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得x1+x2=-, x1· x2=-k2+k. ∵x12+x22=-2k2+2k+1, ∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1. ∴8k2=0,∴k=0, ∴抛物线的解析式是y=x2+x. ②∵点P.Q关于此抛物线的对称轴对称, ∴n1=n2. 又n1=m12+m1,n2=m22+m2. ∴m12+m1=m22+m2, 即(m1-m2)(m1+m2+1)=0. ∵P.Q是抛物上不同的点, ∴m1≠m2,即m1-m2≠0. ∴m1+m2+1=0 即m1+m2=-1. 点评:本题考查二次函数的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点. 基础达标验收卷【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=

(x-4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（　　）

A、5

B、

C、4

D、17-4π

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九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为l求l的最大值；
II．如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P　为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

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知识迁移
　当a＞0且x＞0时，因为 $数学公式$ ，所以x- $数学公式$ + $数学公式$ ≥0，从而x+ $数学公式$ ≥ $数学公式$ （当x= $数学公式$ ）是取等号）．
　记函数y=x+ $数学公式$ （a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x= $数学公式$ 时，该函数有最小值为2 $数学公式$ ．
直接应用
　已知函数y₁=x（x＞0）与函数y₂= $数学公式$ （x＞0），则当x=时，y₁+y₂取得最小值为．
变形应用
　已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求 $数学公式$ 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
　已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

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