如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝O和x＝4时，y的值相等．直线y＝4x－16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合，但可以与点M重合)，设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO＝OC？如果存在，请求出t的值．