数学游戏：有谷粒100颗，甲、乙二人玩轮流抓谷粒颗数的游戏，规定每人每次至少抓1颗，至多抓5颗，谁抓到最后一把谁赢．若甲先抓，抓几颗，才能保证一定赢？
建立模型：为了解决这个问题，可以把问题一般化：找到当谷粒为n颗时，甲如何抓能赢的规律？
探索规律：为了找到解决问题的方法，我们可以把上述一般化的问题特殊化：
（1）填表

n	1	2	3	4	5	6	…
甲	1	2					…
乙	--	--					…
输赢结果	甲赢	甲赢					…

注：在甲、乙所在行空白处填他们所抓谷粒颗数，输赢结果行空白的注明甲输或甲赢．猜想并验证规律：
（2）根据上述的规律，当谷粒为7颗，甲能赢吗？如果能，试简述甲、乙轮流抓的过程？如果不能请说明理由；若谷粒为13颗呢？
解决问题：
（3）当谷粒为100颗时，甲先抓几颗，才能保证一定赢？为什么？

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．
（2）利用上面的规律计算：3⁵-5×3⁴+10×3³-10×3²+5×3-1．

19、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b²展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．
（2）利用上面的规律计算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．

探索题有一列数：第一个数为a₁=1，第二个数为a₂=3，第三个数开始依次记为a₃，a₄，…；从第二个数开始，每个数是它相邻两数和的一半．
①求第三、四个数，并写出计算过程；
②据①的结果表明，推测a₈=；
③探索这一列数的规律，猜想第n个数a_n=．