例1 已知抛物线y=x2+kx+1与x轴相交于两个不同的点A.B.顶点为C.且∠ACB=90°.试求如何平移此抛物线使其∠ACB=60°. 分析很多同学对这道题感到比较生疏.一是有的已知条件.如∠ACB=90°意味着什么?怎样入手解?二是平移后使∠ACB=60°.又意味着什么? 不妨换个角度考虑问题.画图观察一下.草图如图所示.可看到由于抛物线的对称性.∠ACB=90°就意味着△ACB是等腰直角三角形.就是说.斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半.而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值.CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值.于是可以列出方程.求得k的值:设A.B两点横坐标分别为x1.x2.则它们是方程x2+kx+1=0的两个相异的实数根.那么有于是AB=|x2-x1|= 又设顶点C的坐标为(x0,y0).应用顶点坐标公式.有y0=.CD=|y0|. 那么条件CD=AB就是如下方程: |x1-x2|=|y0|.即 (∵k2-4>0). (k2-4)2-4(k2-4)=0. (k2-4)(k2-8)=0. ∵k2-4>0.∴k2-8=0.∴k=±2. 于是抛物线解析式为y=x2±2x+1. 这样通过观察图形和计算.不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值.同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线.使其∠ACB=60°.画图分析可看到.抛物线向下平移.∠ACB逐渐变小.当∠ACB=60°时.由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形.因为等边三角形的高等于边长的倍.所以CD=AB.这就给我们提供了一个等量关系.利用这个关系列方程.可求出平移后抛物线解析式中的常数项. 设把抛物线y=x2±2x+1向下平称|l|个单位后.使∠ACB=60°.则平移后抛物线的解析式为 y=x2±2x+1+l. 设A.B两点的横坐标分别为.C点纵坐标为. 则按题意有|| ① 又=±2.=1+l. 因此 =. ==l-1. 代入①.得=|1-l|. 平方.整理得(1-l)(l+2)=0. 因平移后抛物线仍保持同x轴有两个交点. 所以|x1-x2|=≠0.即1-l≠0. 可得l+2=0.即l=-2. 于是可知.把已知抛物线向下平移2个单位.就能使∠ACB=60°.解略. 例2 已知平面直角坐标系内两点A,点P在直线y=x+上.且ΔABP为直角三角形.求:经P.A.B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在?若存在.求出抛物线的解析式. 分析:本例给出了直角三角形的一条边.求这条边所对的顶点坐标.这条边即可是直角边又可是斜边.A.B.P均可为直角顶点.∠A.∠B为直角时.对称轴平行于y轴的抛物线不存在. 解:(1)分三种情况: ① 若点A为直角顶点.过A作AP1⊥x轴交直线y=x+于点P1. 设P1. 则y=(-2)+=, ∴ P1(-2,). ② 若点B为直角顶点.过B作P2B⊥x轴交直线y=x+于点P2. 设P2(4,y),则y=, ∴ P2(4,). ③ 若点P(x,y)为直角顶点.过P作PQ⊥x轴于Q(x,0), 又AB中点C(1,0),连结PC=AB=3. 得:. ∴ 或 .经检验均是原方程的根. ∴ P3(-), P4(1,3). 综上P点坐标为(-2,),(4,),(-),设过A.B.P三点的抛物线的解析式为:y=a.将P3.P4代入. ∴ 得a=-或a=-, ∴ y=-++ 或 y=-, 过A.B.P1或过A.B.P2三点.对称轴平行于y轴的抛物线不存在.要数形结合.善于联想.把握二次函数图象的对称轴一定平行于y轴的特征模型. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知抛物线y=x²+kx+k-2．
（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若反比例函数y=

的图象与y=-

的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A（n，-3），求抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．

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已知抛物线y=x²+kx+k-2．
（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若反比例函数 $数学公式$ 的图象与 $数学公式$ 的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A（n，-3），求抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．

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已知抛物线y=x²＋kx＋k－2.

1.（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；

2.（2）若反比例函数的图象与的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A(n, －3)，求抛物线的解析式；

3.（3）若点P是(2)中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标.

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已知抛物线y=x²＋kx＋k－2.
【小题1】（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
【小题2】（2）若反比例函数

的图象与

的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A(n,－3)，求抛物线的解析式；
【小题3】（3）若点P是(2)中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标.

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已知抛物线y=x²＋kx＋k－2.
【小题1】（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
【小题2】（2）若反比例函数的图象与的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A(n,－3)，求抛物线的解析式；
【小题3】（3）若点P是(2)中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标.

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