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    例3 (1)已知在四边形ABCD中. ∠B=∠D=90°.M为AC上任一点.且MP⊥BC.MQ⊥AD.求证:是一个定值. 分析:从动点的临界位置探求定值. M运动到A(或C)时.值为1. M到中点时=1.猜到后证明. 略证:=1. 例4.已知过定⊙O的直径AB的两端及上任一点E作⊙O的三条切线AD.BC和CD.它们分别交于D.C点.求证AD·BC是定值. 分析:从动点的特殊位置.图形的特殊形状等探求定值. E到临界位置A(B)不存在.找特殊中点则出现两个正方形.边长为R.猜想AD·BC=R2. 简证:连接OD.OE.OC.应证明OD⊥OC.OE⊥CD.∴ RtΔODE∽RtΔCOE ∴ AD·BC=DE·CE=OE2=R2. 例5.如图.半径为a的半圆内有两正方形ABCD.BEFG.点D.F在半圆周上.点C.G在半圆内. (1)试证明截得的这两个正方形的面积和为定值, (2)判别DO与OF的位置关系. 分析:从图形的特殊位置探索定值. ①不变的是半径a.可变的是两个正方形的边长.当两正方形边长相等时是特殊位置.S1+S2=＝a2+a2=a2. ②由特殊位置可以得到OD⊥OF. 证明RtΔAOD≌RtΔEFO 设正方形ABCD和BEFG的边长分别为x, y, OA=, OE=, 又OA+OE=AB+BE=x+y, ∴ +=x+y -x=-+y a2-x2-2x+x2=a2-y2-2y+y2 x=y x2(a2-x2)=y2(a2-y2) a2x2-x4-a2y2+y4=0 (x2-y2)(a2-x2-y2)=0 ∴ x2=y2或x2+y2=a2, ∵ x2=y2时.有SABCD+SBEFG =＝a2+a2=a2. x2+y2=a2时.也有 ∴ SABCD+SBEFG=a2. ∴ 截得的这两个正方形的面积和为定值 (2) ∵ x2+y2=a2.∴ y2=a2-x2=OA2=EF2, ∴ OA=EF.又OD＝OF.∴ RT△AOD≌RT△EFO. ∴ ∠AOD+∠EOF＝90°.∴ OD⊥OF. 一般情况下.解决定值问题的关键在于探求定值.一旦定值被探求出来.问题就转化为我们熟悉的几何证明题.但定值有时又只能分类讨论. 例6．若三角形的一边与其对角为定值.由另两角的顶点作对边的垂线.则两垂足之间的距离为定值.试证明之. (1)设∠A=α.BC=a, 0°<α<90°. BE⊥AC.CD⊥AB.D.E为垂足.连DE. ∴ D.B.C.E以BC为直径的圆上.∴ ∠1=∠ACB. 又∠A=∠A.∴ ΔADE∽ΔACB.∴ =cosα, ∴ DE=a·cosα. (2)α=90°时.DE=0. (3)90°<α<180°时.=cos, ∴ DE=a·cos. ∴ 若三角形的一边与其对角为定值.由另两角的顶点到对边的垂线.则两垂足之间的距离为定值. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    26、探究题
    如下图所示，已知平面内A、B、C、D、E五个点．
    （1）按要求画出图形：
    ①画直线AC；
    ②画射线EA、EC；
    ③连接AB、BC、CD、DA．
    （2）在（1）所画的图形中，任意找出一个锐角和一个钝角，并将它们分别表示出来：
    锐角：
    ∠EAC

    钝角：
    ∠AEC

    （3）①用量角器量出四边形AECD的四个内角的度数，即∠DAE、∠AEC、∠ECD、∠CDA的度数分别为
    50°，150°，60°，90°
    ，这四个内角的度数和为
    360°
    ；
    ②用量角器量出四边形ABCD的四个内角的度数，即∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的度数分别为
    90°，70°，110°，90°
    ，这四个内角的度数和为
    360°
    ．从以上的操作中，你有什么发现？（只需写出结论）

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    提出问题

    如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？

    猜想结论

    经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．

    证明猜想

    （1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．

    结论应用

    （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

     


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    提出问题：
    如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
    猜想结论：
    经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
    证明猜想：
    （1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．
    结论应用：
    （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

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    提出问题：
    如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
    猜想结论：
    经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
    证明猜想：
    （1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．
    结论应用：
    （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

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    提出问题：
    如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
    猜想结论：
    经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
    证明猜想：
    （1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．
    结论应用：
    （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．

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