题目列表(包括答案和解析)
已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b<0),若抛物线C1经过点(0,-3),方程ax2+bx-3a=0的两根为x1,x2,且|x1-x2|=4.
⑴求抛物线C1的顶点坐标. 新 课 标 第 一 网
⑵已知实数x>0,请证明x+≥2,并说明x为何值时才会有x+=2.
⑶若将抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设A(m,y1),B(n,y2)是C2上的两个不同点,且满足:∠AOB=90︒,m>0,n<0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式.
(参考公式:在平面直角坐标系中,若P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点间的距离为)
如图1,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,且A、B两点的坐标分别是(4,0)、(0,-2),tan∠BCO=(1)求抛物线解析式;(2)点M为抛物线上一点,若以MB为直径的圆与直线BC相切于点B,求点M的坐标;(3) 如图2,若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x的动点,是否存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形;如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)利用A、B两点的坐标和tan∠BCO=求抛物线解析式
(2)设点m(x,y),则由以MB为直径的圆与直线BC相切于点B,说明了点B为直径的一个端点,另外,BC直线方程为y=2x+4,利用BM的中点就是圆心坐标,BM垂直于CB,因此联立方程组可得M的坐标
(3)假设存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形
则有几种情况的一种直角为C,直角为P,直角为O,直角为Q的情况,那么分情况讨论求解,利用一组对边平行,一个角为直角,进行求解
如图1,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,且A、B两点的坐标分别是(4,0)、(0,-2),tan∠BCO=(1)求抛物线解析式;(2)点M为抛物线上一点,若以MB为直径的圆与直线BC相切于点B,求点M的坐标;(3) 如图2,若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x的动点,是否存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形;如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)利用A、B两点的坐标和tan∠BCO=求抛物线解析式
(2)设点m(x,y),则由以MB为直径的圆与直线BC相切于点B,说明了点B为直径的一个端点,另外,BC直线方程为y=2x+4,利用BM的中点就是圆心坐标,BM垂直于CB,因此联立方程组可得M的坐标
(3)假设存在以点P、Q、C、O为顶点且以OC为一边的四边形是直角梯形
则有几种情况的一种直角为C,直角为P,直角为O,直角为Q的情况 ,那么分情况讨论求解,利用一组对边平行,一个角为直角,进行求解
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