如图，一个窗户的上部是由四个扇形组成的一个半径为R的半圆，下部是边长相同的四个小正方形，计算这个窗户的面积和窗户外框的总长．

如图，在半径为r的半圆⊙O中，半径OA⊥直径BC，点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求证：S_{四边形AEOF}=

1

2

r²；
（2）设AE=x，S_△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围；
（3）当S_△OEF=

5

18

S_△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长．

如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

如图，P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P₃，P₄，…，P_n，…，记纸板P_n的面积为S_n，试计算求出S₂=；S₃=；并猜测得到S_n-S_n-1=．（n≥2）