如图，已知抛物线y = px²－1与两坐标轴分别交于点A、B、C，点D坐标为（0，－2），△ABD为直角三角形，l为过点D且平行于x轴的一条直线。

(1）求p的值；

(2）若Q为抛物线上一动点，试判断以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；

(3）是否存在过点D的直线，使该直线被抛物线所截得得线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项。如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由。