证明：菱形对角线的交点到各边的距离相等．

以下是一道题目及其解答过程：

已知：如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂足分别是E、F、G、H．

求证：四边形EFGH是矩形．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，∠AOD＝∠COD＝．　　①

又∵DO＝DO，∴△AOD≌△COD．　　②

∵OG、OF分别是Rt△AOD和Rt△COD斜边上的高，

∴OG＝OF．　　③

同理OH＝OE，OE＝OF，则OH＝OE＝OF＝OG．

∴EG与HF相等且互相平分，

∴四边形EFGH是矩形．　　④

以上证明过程中

[　　]

某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A₁，A₂，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．