（2010•中山一模）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量

OA

、

OB

、

OC

满足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

已知A，B，C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

 满足：

OA

-(

3

2

x2+1)

OB

-[ln(2+3x)-y]

OC

=

0

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式：
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围；
（3）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），过其左焦点F₁（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

与

a

=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-

1

2

=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．