(理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l²+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D?并证明你的结论．

第19题图

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别为棱BB₁，CC₁上的点，EC=BC=2FB，M是AE的中点．
（1）求证FM∥BO
（2）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的大小．

已知L为过点P(-

3 3

2

，-

3

2

)且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是(

2

8

，0)的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E、F分别为棱CC₁，BB₁上的点，EC=BC=2FB，M是AE的中点．
（1） 求证：FM∥BO（2） 求三棱锥E-ABD的体积．