已知函数,,k为常数，e是自然对数的底数).

(I)当k=1时，求f(x)的最小值；

(II)探求是否存在整数k使得f(X)在区间上的图象均在第一、二象限？若存在,求出k的最大值；若不存在,请说明理由；

(III)设函数，记，求证：

 

若在直角坐标平面第一象限内,点的坐标(x,y)满足x+y＞n,并且x、y都大于n(n∈N^*)的整点(横、纵坐标均为整数)的个数记为a_n.

(1)求a₃、a₄、a₅并写出数列{a_n}的通项公式a_n=f(n)(不要求证明);

(2)设数列{b_n}满足:b_n=n²-2a_n,T_n=2^n-1b₁+2^n-2b₂+…+2b_n-1+b_n,求T_n.

如图，在平面直角坐标系中，边长为a_n的一组正三角形A_nB_n-1B_n的底边B_n-1B_n依次排列在x轴上（B与坐标原点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，若所有正三角形顶点A_n在第一象限，且均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

若在直角坐标平面第一象限内，点的坐标（x,y）满足x+y＞n，并且x,y都小于n(n∈N^*)的整点（横、纵坐标均为整数）的个数记为a_n.

(1)求a₃,a₄,a₅并写出数列{a_n}的通项公式a_n=f(n)(不要求证明)；

(2)设列数{b_n}满足b_n=n²-2a_n,T_n=2^n-1b₁+2^n-2b₂+…+2b_n-1+b_n,求T_n.