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    (一) 整除问题 把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类.叫做m的剩余类或同余类.用[0].[1].[2].-.[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数.例如[1]中含有1.m+1.2m+1.3m+1.-.在研究与整除有关的问题时.常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理.可以证明:任意n+1个自然数中.总有两个自然数的差是n的倍数. 例1 证明:任取8个自然数.必有两个数的差是7的倍数. 分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质.如果两个整数a.b.它们除以自然数m的余数相同.那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质.本题只需证明这8个自然数中有2个自然数.它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0.1.2.3.4.5.6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数.根据抽屉原理.必有两个数在同一个抽屉中.也就是它们除以7的余数相同.因此这两个数的差一定是7的倍数. 例2:对于任意的五个自然数.证明其中必有3个数的和能被3整除. 证明∵任何数除以3所得余数只能是0.1.2.不妨分别构造为3个抽屉: [0].[1].[2] ①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中.我们从这三个抽屉中各取1个.其和必能被3整除. ②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中.则其中必有一个抽屉.包含有3个余数.而这三个余数之和或为0.或为3.或为6.故所对应的3个自然数之和是3的倍数. ③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中.很显然.必有3个自然数之和能被3整除. 例2′:对于任意的11个整数.证明其中一定有6个数.它们的和能被6整除. 证明:设这11个整数为:a1.a2.a3--a11 又6=2×3 ①先考虑被3整除的情形 由例2知.在11个任意整数中.必存在: 3|a1+a2+a3.不妨设a1+a2+a3=b1, 同理.剩下的8个任意整数中.由例2.必存在:3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2, 同理.其余的5个任意整数中.有:3|a7+a8+a9.设:a7+a8+a9=b3 ②再考虑b1.b2.b3被2整除. 依据抽屉原理.b1.b2.b3这三个整数中.至少有两个是同奇或同偶.这两个同奇的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则:6|b1+b2.即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11个整数.其中必有6个数的和是6的倍数. 例3: 任意给定7个不同的自然数.求证其中必有两个整数.其和或差是10的倍数. 分析:注意到这些数队以10的余数即个位数字.以0.1.-.9为标准制造10个抽屉.标以[0].[1].-.[9].若有两数落入同一抽屉.其差是10的倍数.只是仅有7个自然数.似不便运用抽屉原则.再作调整:[6].[7].[8].[9]四个抽屉分别与[4].[3].[2].[1]合并.则可保证至少有一个抽屉里有两个数.它们的和或差是10的倍数. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    要解决下面四个问题，只用顺序结构画不出其程序框图的是（　　）
    A、利用1+2+…+n=
    n(n+1)
    2
    ，计算1+2+3+…+10的值
    B、当图面积已知时，求圆的周长
    C、当给定一个数x，求其绝对值
    D、求函数f（x）=x2-4x+5的函数值

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    椭圆C：
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1    的焦点为F1，F2，有下列研究问题及结论：
    ①曲线
    x2
    25-k
    +
    y2
    9-k
    =1 (k＜9)    与椭圆C的焦点相同；
    ②一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为x2=±6y；
    ③若点P为椭圆上一点，且满足
    PF1
    •
    PF2
    =0    ，则|
    PF1
    +
    PF2
    |    =8．
    则以上研究结论正确的序号依次是（　　）

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    李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是（　　）

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    求1～1000的所有不能被3整除的整数之和的程序如下：
    S=0　　　　　　　　（1）试用直到型循环结构再写一次这个程序．
    i=1
    WHILE　i＜=1000　　（2）编写求1～1000的所有能被3整除的整
    r=i MOD 3　　　　       数之和的程序．
    IF　r＜＞0　THEN
    S=S+i
    END IF
    i=i+1
    WEND
    PRINT　S
    END．

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    给出以下四个问题，其中不需要用条件语句来描述其算法的有（　　）
    ①输入一个数x，输出它的相反数；
    ②求面积为6的正方形的周长；
    ③求三个数a，b，c中的最大数；
    ④求二进数111111的值．

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