解: (1)∵n=1时,a1=S1=9,n≥2时,an=Sn-Sn–1=(10n-1)-(10n–1-1)=9·10n-1,且当n=1时, 有a1=S1=9;∴an=9·10n–1. (2) ∵n=——青夏教育精英家教网—

解: (1)∵n=1时,a1=S1=9,n≥2时,an=Sn-Sn–1=(10n-1)-(10n–1-1)=9·10n-1,且当n=1时, 有a1=S1=9;∴an=9·10n–1. (2) ∵n=1时,a1=31+1=4, n≥2时,an=Sn-Sn–1=(3n+1)-(3n–1+1)=2·3n–1,且当n=1时,a1=2·30=2S1=4,∴an=. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n_＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}为等比数列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁qⁿ^－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)证明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

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已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断f （x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+

）＜f（

x-1

）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

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（2012•黄浦区二模）对n∈N^*，定义函数f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n．
（1）求证：y=f_n（x）图象的右端点与y=f_n+1（x）图象的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．
（2）若直线y=k_nx与函数f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N^*）的图象有且仅有一个公共点，试将k_n表示成n的函数．
（3）对n∈N^*，n≥2，在区间[0，n]上定义函数y=f（x），使得当m-1≤x≤m（n∈N^*，且m=1，2，…，n）时，f（x）=f_m（x）．试研究关于x的方程f（x）=f_n（x）（0≤x≤n，n∈N^*）的实数解的个数（这里的k_n是（2）中的k_n），并证明你的结论．

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已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为（-1，

），且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，3a_n+1=1-

f′(an)

（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设b_n=

，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

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