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    例4．一辆邮车依次前往城市A1.A2.A3.-Am().每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个.然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个. 设n是邮车从第n个(1≤n＜m.n∈N* )城市出发时邮车上邮袋的个数.设计一个算法.对任给两个正数m＞n.求n. 分析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋.再加上发往后面各城市的(m-n)个邮袋.可用循环计算I从1至n时.n的变化. ⑴程序框图: ⑵程序: 随机事件的概率 例1.下面请同学们两人一组做一试验:每组抛掷硬币20次.并统计正.反面次数.统计每组正面向上次数如下:12.9.11.13.8.10.11.12.9.13.7.12.10.13.11.11.8.10.14.9.7.12.6.8.7.那么.在抛掷硬币试验中.出现正面的次数占总次数的百分比为多少呢?或者说.出现正面的频率为多少? 总试验次数为500次.出现正面的次数为253次.出现正面的频率为0.506. 请同学们来看这样一组数据:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验.这便是试验结果.大家从这组数据中.是否可获得什么结论呢? 抛掷硬币试验结果表 抛掷次数(n) 正面向上次数(频数m) 频率() 2048 4040 12000 24000 30000 72088 1061 2048 6019 12012 14984 36124 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011 出现正面的频率值都接近于0.5. 再请同学们看这样两组数据. 某批乒乓球产品质量检验表 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表 每批粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数m 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 发芽频率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 从表2可看到, 当抽查的球数很多时.抽到优等品的频率接近于0.95. 从表3可看到, 当试验的油菜籽的粒数很多时.油菜籽发芽的频率接近于0.9. 随机事件在一试验中是否发生虽然不能事先确定.但随着试验次数的不断增加.它的发生会呈现出一定的规律性.正如我们刚才看到的:某事件发生的频率在大量重复的试验中总是接近于某个常数. 一般地.在大量重复进行同一试验时.事件A发生的频率总是接近于某个常数.在它附近摆动.这时就把这个常数叫做事件A的概率.记作P ( A ). 如上:记事件A为抛掷硬币时“正面向上 . 则P ( A ) = 0.5.即:抛掷一枚硬币出现“正面向上 的概率是0.5. 例2.若记事件A为抽取乒乓球试验中出现优等品.则P ( A ) = 0.95.即:任取一乒乓球得到优等品的概率是0.95.若记事件A:油菜籽发芽.则P ( A ) = 0.9, 即任取一油菜籽.发芽的概率为0.9. 概率这一常数从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小. 如上:抛掷一枚硬币出现“正面向上 的可能性是50%,任取一乒乓球得到优等品的可能性是95%,任取一油菜籽.发芽的可能性是90%. 上述有关概率的定义.也就是求一个事件的概率的基本方法:进行大量的重复试验.用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. 即:若记随机事件A在n次试验中发生了m次.则有0≤m≤n,0≤≤1. 于是可得:0 ≤ P ( A ) ≤1. 显然:(1)必然事件的概率是1.(2)不可能事件的概率是0. 例3.抛掷一个骰子.它落地时向上的数是3的倍数的概率是多少? ［分析］由于骰子落地时向上数可能有1.2.3.4.5.6六种情形.其中向上的数为3.6.这2种情形之一出现时.“向上的数是3的倍数 .这一事件(记作事件A)发生.因此事件A的发生包含的结果有2个. 解:记事件A为“向上的数是3的倍数 . 则事件A包含两个基本事件.即“向上的数是3 和“向上的数为6 . 且由题意得每一基本事件的概率均为. 因此.事件A的概率为:P ( A ) = . 评述:如果某个事件A包含的结果有m个.那么事件A的概率P ( A ) = . 也可理解为:在一次试验中.等可能出现的n个结果组成一个集合I.这n个结果就是集合I的n个元素.各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集.包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A. 因此从集合的角度看.事件A的概率是子集A的元素个数(记作card(A))与集合I的元素个数(记作card(I))的比值.即:P ( A ) = 如.上述骰子落地时向上的数是3的倍数.这一事件A的概率 P(A)= 例4..先后抛掷2枚均匀的硬币. (1)一共可能出现多少种不同的结果? (2)出现“1枚正面.1枚反面 的结果有多少种? (3)出现“1枚正面.1枚反面 的概率是多少? (4)有人说.“一共可能出现`2枚正面’`2枚反面’`一枚正面.1枚反面’这3种结果.因此出现`1枚正面.1枚反面’的概率是. 这种说法对不对? [分析] 由于是先后抛掷2枚均匀的硬币.所以在考查试验结果时.要分第一枚与第二枚不同的结果.然后再加以组合. 解:(1)由题意可知.可能出现的结果有: “第1枚正面.第2枚正面 , “第1枚正面.第2枚反面 , “第1枚反面.第2枚正面 , “第1枚反面.第2枚正面 . 即:一共可能出现“2枚正面 “2枚反面 “第1枚正面.第2枚反面 “第1枚反面.第2枚正面 四种不同的结果. 得出现“1枚正面.1枚反面 的结果有“第1枚正面.第2枚反面 与“第1枚反面.第2枚反面 2种. (3)由于此试验一共可能出现4种结果.而且每种结果出现的可能性是相等的.而出现“1枚正面.1枚反面 包含两种结果.所以其发生的概率为.即. (4)这种说法不对.这是因为“1枚正面.1枚反面 这一事件由2个试验结果组成.这一事件发生的概率是而不是. 评述:要仔细分析试验的条件以及结果的出现类型. 例5.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球.从中摸出2个球. (1)共有多少种不同的结果? (2)摸出2个黑球有多少种不同的结果? (3)摸出2个黑球的概率是多少? [分析]由题意可知袋中装有4个不同的球.从中任取2球的结果数即为从4个不同的元素中任取2元素的组合数,摸出2个黑球的结果数即为从3个不同的元素中任取2元素的组合数.且每种结果出现的可能性是相等的.即为等可能性事件. 解:(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球.共有:C=6种不同的结果.即由所有结果组成的集合I含有6个元素. ∴共有6种不同的结果. (2)从3个黑球中摸出2个球.共有C=3种不同的结果.这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A.如图: ∴从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果. (3)由于口袋内4个球的大小相等.从中摸出2个球的6种结果是等可能的.又在这6种结果中.摸出2个黑球的结果有3种.因此从中摸出2个黑球的概率 P ( A ) = . ∴ 从口袋内摸出2个黑球的概率是. 评述:仔细分析事件.灵活应用排列和组合知识解决问题. 例6.将骰子先后抛掷2次.计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的数之和是5的结果有多少种? (3)向上的数之和是5的概率是多少? 讨论1:将骰子抛掷1次.它落地时向上的数有1.2.3.4.5.6这6种结果.且每种结果出现的可能性是相等的. 讨论2:每次试验需分两步完成.且每步均会出现以上6种结果.每一次试验的结果为以上6种结果的任意组合.且每一组结果出现的可能性是相等的. 讨论3:向上的数和为5的结果.即出现1和4.2和3的组合的结果. 解:(1)将骰子抛掷1次.它落地时向上数有1.2.3.4.5.6这6种结果.根据分步计数原理.先后将这种玩具抛掷2次.一共有6×6=36种不同的结果. (2)在上面所有结果中.向上的数之和为5的结果有.(4.1)4种.其中括弧内的前.后2个数分别为第1.2次抛掷后向上的数. ∴在2次抛掷中.向上的数之和为5的结果有4种. 以上结果可表示为:(其中不在线段上的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和.) (3)由于骰子是均匀的.将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的. 其中向上的数之和是5的结果(记为事件A)有4种.因此.P(A)=. ∴抛掷骰子2次.向上的数之和为5的概率是. 评述:注意分析事件的结果是否为有限的.且出现的可能性是否相等.即判断事件是否为等可能性事件.还要注意灵活应用排列和组合以及两原理的应用. 思考:在这个问题中.出现向上的数之和为5的倍数的概率是多少? [分析]出现向上的数之和为5的倍数.即和为5或10. 其中和为5的结果有4种. 和为10的结果有3种. 总之.出现向上的数之和为5的倍数的结果有7种. 因此.在这个问题中.出现向上的数之和为5的倍数的概率是. 例7.. 随意安排甲.乙.丙3人在3天节日中值班.每人值班1天. (1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法? (2)其中甲在乙之前的排法有多少种? (3)甲排在乙之前的概率是多少? [分析]据题意可知.3人在3天节日中值班顺序数即为3个不同元素在3个不同位置上的排列数,其中甲在乙之前意味着甲.乙相邻且甲在乙之前.或甲.乙不相邻而甲在乙之前的排法. 解:(1)随意安排甲.乙.丙3人在3天节日中值班.每人值1天.则这3人的值班顺序共有6种不同的排列方法.即组成的集合I有6个元素. ∴这3人的值班顺序共有6种不同的排列方法. (2)甲在乙之前的排法有: 甲乙丙.甲丙乙.丙甲乙3中不同的结果.这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A. 如图所示: (3)由于是随意安排.即每人在每天值班的可能性是相等的.所以6种不同的值班顺序也是等可能的.又在这6种结果中.甲在乙之前的结果有3种.因此甲排在乙之前的概率为P(A)=. ∴甲排在乙之前的概率为. 例8. 在40根纤维中.有12根的长度超过30 mm, 从中任取一根.取到长度超过30 mm的纤维的概率是多少? [分析]从40根纤维中.任取1根的结果数为40.由于其中12根长度超过30 mm.则抽到长度超过30 mm的结果数为12. 解:从40根纤维中任取1根.共有40种不同的结果.且每种结果是等可能的.由于其中12根长度超过30 mm, 则抽到长度超过30 mm的纤维.共有12种不同的结果. ∴取到长度超过30 mm的纤维的概率为. 【查看更多】

     

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    一辆邮车依次前往城市A1，A2，A3，…，Am(m∈N+，m≥2)，每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个．设an是邮车从第n个(1≤n＜m，n∈N+)城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数m＞n，求an．

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    一辆邮车依次前往城市A1，A2，A3，…，Am(m∈N*，m≥2)，每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个．

    设an是邮车从第ｎ个(1≤n＜m，n∈N*)城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任意两个正数m＞ｎ，求an．

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