已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定值；
（3）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．

已知圆C：x²+y²=5m²（m＞0），直线l过点M（-m，0）且与圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）如果直线l的斜率为1，且|AB|=6，求m的值；
（Ⅱ）设直线l与y轴交于点P，如果|

PA

|=2|

PM

|，求直线l的斜率．

已知向量

OA

=（2

2

，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线y=x+

6

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（

1

6

，0），求实数k的取值范围．

已知椭圆m：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与双曲线n：

x2

4

-

y2

5

=1有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O：x²+y²=a²+b²相交于点A，C，l₂与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．