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    3．半角公式 , , 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知tan110°=a，求tan50°时，同学甲利用两角差的正切公式求得：tan50°=
    a-
    		3
    1+
    		3
    a
    ；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得tan50°=
    1-a2
    2a
    ；根据上述信息可估算a的范围是（　　）
    A、-∞，-2-
    		3
    B、-2-
    		3
    ，-3
    C、（-3，-2）
    D、(-2，-
    		3
    )

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    由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
    cos3x=cos（2x+x）
    =cos2xcosx-sin2xsinx
    =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
    =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
    =4cos3x-3cosx
    可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．
    （I）求证：sin3x=3sinx-4sin3x；
    （II）请求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
    （III）利用结论cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．

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    在工程技术中，常用到双曲正弦函数shx=
    ex-e-x
    2
    和双曲余弦函数chx=
    ex+e-x
    2
    ，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式
    ch（x-y）=chx•chy-shx•shy
    ch（x-y）=chx•chy-shx•shy
    ．

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    由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
    对于cos3x，我们有
    cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
    =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
    =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
    =4cos3x-3cocs．
    可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
    一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
    （1）请尝试求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
    （2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

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    利用和（差）角公式，求sin75°的值为
    		2
    +
    		6
    4
    		2
    +
    		6
    4
    ．

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