已知函数f(x)

1

3

ax3+bx2+x+3，其中a≠0．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

A、[ 2 3 π，π)

B、[ π 3 ， π 2 ]

C、[ π 3 ， π 2 ]∪[ 2 3 π，π)

D、[ π 3 ， 2π 3 ]

A、（-1，2）

B、[-1，2）

C、( 1 2 ，2)

D、[ 1 2 ，2)

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=-

1

2

，且关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求证：a_n≤2ⁿ-1．

已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c使f（x）在

x1+x2

2

处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c否则说明理由．