已知函数的最值情况是 A.有最大值.但无最小值 B.有最小值.有最大值1 C.有最小值1.有最大值 D.无最大值.也无最小值 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

(Ⅰ)求实数的值; 

(Ⅱ)求在区间上的最大值;

(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.

【解析】第一问当时,,则

依题意得:,即    解得

第二问当时,,令,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

(Ⅰ)当时,,则

依题意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①当时,,令

变化时,的变化情况如下表:

0

0

+

0

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

。∴上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0;

时, 上单调递增。∴最大值为

综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;

时,即时,在区间上的最大值为

(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

,则代入(*)式得:

,而此方程无解,因此。此时

代入(*)式得:    即   (**)

 ,则

上单调递增,  ∵     ∴,∴的取值范围是

∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。

因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上

 

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已知函数其中为自然对数的底数, .(Ⅰ)设,求函数的最值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.

【解析】第一问中,当时,.结合表格和导数的知识判定单调性和极值,进而得到最值。

第二问中,∵,      

∴原不等式等价于:,

, 亦即

分离参数的思想求解参数的范围

解:(Ⅰ)当时,

上变化时,的变化情况如下表:

 

 

1/e

时,

(Ⅱ)∵,      

∴原不等式等价于:,

, 亦即

∴对于任意的,原不等式恒成立,等价于恒成立,

∵对于任意的时, (当且仅当时取等号).

∴只需,即,解之得.

因此,的取值范围是

 

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已知函数f(x)=alog2x,且关于x的方程
a
f(x)
+2=
f(x)
a2
有两个相同的实数解,数列{an}的前n项和sn=1+f(n+1),n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试确定数列{an}中n的最小值m,使数列{an}从第m项起为递增数列;
(3)设数列bn=1-an,一位同学利用数列{bn}设计了一个程序,其框图如图所示,但小明同学认为
这个程序如果执行将会是一个“死循环”(即一般情况下,程序将会永远循环下去而无法结束).
你是否赞同小明同学的观点?请说明你的理由.

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已知函数f(x)=
1
3
x3-x2+3
,x∈[-1,t](t>-1),函数g(t)=
1
3
(t-2)2,t>-1

(Ⅰ)当0<t<1时,求函数f(x)的单调区间和最大、最小值;
(Ⅱ)求证:对于任意的t>-1,总存在x0∈(-1,t),使得x=x0是关于x的方程f′(x)=g(t)的解;并就k的取值情况讨论这样的x0的个数.

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(2013•东城区二模)已知函数f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)如果P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的任意一点,若以P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的最小值;
(3)讨论关于x的方程f(x)=
x3+2(bx+a)
2x
-
1
2
的实根情况.

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