选修4-4；坐标系与参数方程
已知直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C₂：ρ=1．
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O为圆心的圆与C₁的相切，切点为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（几何证明选做题） 如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．则DE=．
B．（坐标系与参数方程选做题）已知直线C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），当α=

π

3

时，C₁与C₂的交点坐标为．
C．（不等式选做题）若不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|对一切非零实数a恒成立，则实数a的取值范围．

函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）最高点D的坐标是(2， 

2

)，由最高点D运动到相邻的最低点时，函数图象与x轴的交点坐标是（4，0），则函数的表达式是．

在研究“原函数图象与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题时，我们可以分三步进行研究：
①首先选取如下函数：y=2x+1，y=

2x

x+1

，y=-

x+1

；
②求出以上函数的图象与其反函数的图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数y=

x-1

2

的图象的交点坐标为（-1，-1）；y=

2x

x+1

与其反函数y=

x

2-x

的图象的交点坐标为（0，0）、（1，1）；y=-

x+1

与其反函数y=x²-1（x≤0）的图象的交点坐标为（

1- 5

2

，

1- 5

2

），（-1，0），（0，-1）；
③观察分析上述结果，可得出研究结论为．

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C₁：

x=1+tcosα y=ttanα

（t为参数），圆C₂：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．当α=

π

3

时，将直线和曲线的参数方程转化成普通方程并，求C₁与C₂的交点坐标．