如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为

已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，   BP的延长线交AC于点E.

⑴求证：FA∥BE；

⑵求证：

【解析】本试题主要是考查了平面几何中圆与三角形的综合运用。

（1）要证明线线平行，主要是通过证明线线平行的判定定理得到

（2）利用三角形△APC∽△FAC相似，来得到线段成比列的结论。

证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O ∴OA=OF

 ∴∠OAF=∠F  ∵∠B=∠F  ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE

（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦  ∴∠PAC=∠F

∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC  ∴

∴ ∵AB=AC  ∴