17．如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, . (I)证明: , (II)求异面直线所成的角, (III)求点到平面的距离. [解] 解法一:(Ⅰ)连接AC.BD.设ACBD＝O ——青夏教育精英家教网—

17．如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, . (I)证明: , (II)求异面直线所成的角, (III)求点到平面的距离. [解] 解法一:(Ⅰ)连接AC.BD.设ACBD＝O 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥. 所以PO平面ABCD.QO平面ABCD 从而P.O.Q三点在一条直线上.所以PQ平面ABCD (II)由题设知.ABCD是正方形.所以．由(I).平面.故可分别以直线CA.DB.QP为轴.轴.轴建立空间直角坐标系.由题设条件.相关各点的坐标分别是.A(,0,0).. 于是从而异面直线AQ与PB所成的角是. .点D的坐标是 . . 设＝是平面QAD的一个法向量.由所以点P到平面的距离. 解法二:(Ⅰ)取AD的中点M.连接PM.QM. 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥.所以ADPM.ADQM. 从而AD平面PQM. 又PQ平面PQM.所以PQ⊥AD. 同理PQ⊥AB.所以PQ⊥平面ABCD. (Ⅱ)连接AC.BD.设ACBD＝O.由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上.从而P.A.Q.C四点共面. 取OC的中点N.连接PN. 因为.所以 . 是异面直线AQ与PB所成的角. 连接BN. 因为．所以. 从而异面直线AQ与PB所成的角是. 知.AD⊥平面PQM.所以平面QAD⊥平面PQM . 过点P作PH⊥QM于H.则PH⊥QAD.所以PH的长为点P到平面QAD的距离. 连结OM.因为OM=AB=2=OQ.所以∠MQP=45°. 又PQ=PO+QO=3.于是PH=PQsin45°=. 即点P到平面QAD的距离是. 【查看更多】

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如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,