18．在正三角形ABC中.E.F.P分别是AB.AC.BC边上的点.满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2.将△AEF沿EF折起到的位置.使二面角A1-EF-B成直二面角.连结A1B.A1P——青夏教育精英家教网—

18．在正三角形ABC中.E.F.P分别是AB.AC.BC边上的点.满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2.将△AEF沿EF折起到的位置.使二面角A1-EF-B成直二面角.连结A1B.A1P (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP, (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小, (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小. [解][考点分析:本题主要考查线面垂直.直线和平面所成的角.二面角等基础知识.以及空间线面位置关系的证明.角和距离的计算等.考查空间想象能力.逻辑推理能力和运算能力] 不妨设正三角形的边长为3.则 (I)在图1中.取BE的中点D.连结DF. ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2.∴AF=AD=2.而∠A=60o.∴△ADF为正三角形. 又AE=DE=1.∴EF⊥AD. 在图2中.A1E⊥EF.BE⊥EF.∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角.∴A1E⊥BE. 又BEEF=E.∴A1E⊥面BEF.即A1E⊥面BEP. (II)在图2中.∵A1E不垂直于A1B.∴A1E是面A1BP的斜线.又A1E⊥面BEP. ∴A1E⊥BP.∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影设A1E在面A1BP内的射影为A1Q.且A1Q交BP于Q. 则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角.且BP⊥A1Q. 在△EBP中.∵BE=BP=2.∠EBP=60o.∴△EBP为正三角形.∴BE=EP. 又A1E⊥面BEP.∴A1B=A1P.∴Q为BP的中点.且EQ=.而A1E=1. ∴在Rt△A1EQ中..即直线A1E与面A1BP所成角为60o. (III)在图3中.过F作FM⊥A1P于M.连结QM.QF. ∵CF=CP=1.∠C=60o.∴△FCP为正三角形.故PF=1. 又PQ=BP=1. ∴PF=PQ-- ① ∵A1E⊥面BEP.EQ=EF=.∴A1F=A1Q. ∴△A1FP△A1QP.故∠A1PF=∠A1PQ-- ② 由①②及MP为公共边知△FMP△QMP. 故∠QMP=∠FMP=90°.且MF=MQ. ∴∠FMQ为二面角B-A1P-F的一个平面角. 在Rt△A1QP中.A1Q=A1F=2.PQ=1. ∴A1P=. ∵MQ⊥A1P. ∴MQ=. ∴MF=. 在△FCQ中.FC=1.QC=2.∠C=60o.由余弦定理得QF=. 在△FMQ中.. ∴二面角B-A1P-F的的大小为. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）．

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在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF、△CFP分别沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，连结A₁B、A₁P、EC₁（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）设正△ABC的边长为3，以

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