（2012•德阳二模）已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+1，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），F（x）=f（x）-g（x）
（1）若F（x）在x=2处取得极值，求a；
（2）求函数F（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）与函数g（x）的图象在公共点P（x₀，y₀）处有相同的切线，求证：2＜x₀＜3．

（2012•甘肃一模）（理科）已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

π

4

，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移

π

2

个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数；若不存在，说明理由．