题目列表(包括答案和解析)
已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面;
(2)用向量法证明: BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,
求证:对空间任一点O,有.
某市投资甲、乙两个工厂,2011年两工厂的产量均为100万吨,在今后的若干年内,甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨,乙工厂第年比上一年增加万吨,记2011年为第一年,甲、乙两工厂第年的年产量分别为万吨和万吨.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年底,其中哪一个工厂被另一个工厂兼并.
【解析】本试题主要考查数列的通项公式的运用。
第一问由题得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98
第二问,考查等差数列与等比数列的综合,考查用数列解决实际问题,其步骤是建立数列模型,进行计算得出结果,再反馈到实际中去解决问题.由于比较两个工厂的产量时两个函数的形式较特殊,不易求解,故采取了列举法,数据列举时作表格比较简捷.
解:(Ⅰ)由题得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98……6分
(Ⅱ)由于n,各年的产量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 100 110 120 130 140 150 160 170
bn 100 102 106 114 130 162 226 354
2015年底甲工厂将被乙工厂兼并
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0);
③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).
(2)设u、v分别是平面α、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系:
①u=(1,-1,2),v=(3,2,-);
②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);
③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1).
(3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系:
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);
③u=(4,1,5),a=(2,-1,0).
山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布,方案要求以学校为单位进行体育测试,某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试,并对50分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若90~100分数段的人数为2人.
(Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数M;
(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20,则称这两人为“帮扶组”,试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
【解析】本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用。
(1)由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05,然后利用平均值公式,可知这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)
(2)中利用90~100分数段的人数为2人,频率为0.05;得到总参赛人数为40,然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人,第五组中有2人,这样可以得到基本事件空间为15种,然后利用其中两人成绩差大于20的选法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种,得到概率值
解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05; ……………2分
∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分
(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人,频率为0.05;
∴参加测试的总人数为=40人,……………………………………5分
∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人, …………………………6分
设第一组50~60分数段的同学为A1,A2,A3,A4;第五组90~100分数段的同学为B1,B2
则从中选出两人的选法有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种;其中两人成绩差大于20的选法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种 …………………………11分
则选出的两人为“帮扶组”的概率为
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