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    ［例1］已知函数对任意.总有.且当时. (1)求证在R上是减函数, (2)求在上的最大值和最小值. ［解析］(1)令.令可得. 在R上任取 则 ∵.∴ 又∵时..∴. 即 同定义可知在R上为单调递减函数. (2)∵在R上是减函数.∴在上也是减函数. ∴最大.最小. ∴ 即在上最大值为2.最小值为 ［点评］抽象函数的性质要紧扣定义.并同时注意特殊值的应用. ［例2］已知的定义域为R.对任意.有 .且 (1)求证:, (2)求证:为偶函数. ［解析］(1)由题意得: 令.则.则 ∵∴ (2)令.则 ∴. ∴函数是偶函数. ［点评］对于这类问题的求解.充分运用.为任意实数这一条件.对.取定一些特殊值.如等. [例3].定义在上的偶函数.当时.单调递减.若成立.求的取值范围. ［解］因为函数在上是偶函数. 则由. 可得到 因为偶函数图象关于轴对称. 所以有.又当时. 单调递减.得到解之得 [点评]利用偶函数这一特性解决有关抽象函数的问题可以避免分类讨论. ［例题4］函数是奇函数.且当时是增函数.若.求不等式的解集. ［分析］注意.不等式可转化为.联系在上递增.不难得出 还要注意.是奇函数.它在对称区间上的单调性相同.且=0.于是又得.即 分别解两个不等式即可. ［解析］解不等式.得或 解不等式.得 ∴原不等式的解集是 ［点评］在关于原点对称的两个区间上.奇函数的单调性相同.偶函数的单调性相反. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件：

    ①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3，且f(1)=4；

    ②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)－3．

    （Ⅰ）求f(0)的值；

    （Ⅱ）求证：f(x)≤4；

    （Ⅲ）证明：f()≤+3(n∈N*)；

    （Ⅳ）当x∈(］(n=1，2，3，……)时，试证明f(x)＜3x+3．

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